
\prob{0035}{五位数}

数字$1$、$2$、$3$、$4$、$5$各使用一次组成一个五位数$\overline{PQRST}$。若其中三位数$\overline{PQR}$能被$4$整除，三位数$\overline{QRS}$能被$5$整除，三位数$\overline{RST}$能被$3$整除，求这个五位数$\overline{PQRST}$。
\problabels{yellow/数论, green/代数求值问题}

\ans{$\overline{PQRST} = 12453$}

\subsection{倍数性质分析}

基本思路：通过分析$4$的倍数、$3$的倍数、$5$的倍数的性质确定$P$、$Q$、$R$、$S$和$T$。

由于$\overline{QRS}$能被$5$整除，又因为五位数由$1$、$2$、$3$、$4$、$5$组成，所以$S = 5$，其它数位均不是$5$。

由于$\overline{PQR}$能被$4$整除，因此其能被$2$整除，所以

\[ R \in \{2, 4\} \]

又由于$\overline{RST}$能被$3$整除，所以

\[ R + S + T \in \{6, 9, 12\} \]

由于$S = 5$，又由于$R + T$最小为$3$，可知

\[ R + T \in \{4, 7\} \]

现在我们可以根据$R$和$R + T$的可能取值分析$T$的取值，参见表~\ref{tab:0035-mul}。

\begin{table}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{ccl}
    \toprule
    $R$ & $R + T$ & 情况 \\
    \midrule
    $2$ & $4$ & 不可能，$R = 2$，$T \ne2$ \\
    $2$ & $7$ & 不可能，$S = 5$，$T \ne5$ \\
    $4$ & $4$ & 不可能，$T \ne0$ \\
    $4$ & $7$ & $T = 3$ \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
  \caption{逐一分析$R$、$T$的可能性可知，$R$、$T$的唯一组合是$R = 4$，$T = 3$。}
  \label{tab:0035-mul}
\end{table}

通过分析可知，$R$、$T$的唯一组合是$R = 4$，$T = 3$。又由于$\overline{PQR}$能被$4$整除，而此时$P$、$Q$只可能是$1$和$2$，所以$\overline{PQR} = 124$或$\overline{PQR} = 214$。

由于$124 = 4\times31$，所以$P = 1$，$Q = 2$。因此五位数$\overline{PQRST} = 12453$。

综上，五位数$\overline{PQRST}$的值为$12453$。
